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Concepts fondamentaux


I-Rétroaction

Le concept fondamental est celui de correspondance de régulation ou rétroaction. Une rétroaction associe à chaque état du système la commande (ou le contrôle) qui pilotera son évolution pour que celle-ci satisfasse certaines propriétés requises. Parmi ces propriétés figurent :

La propriété de Viabilité :

Il s’agit de réguler les évolutions " viables " dans un environnement défini par des contraintes de Viabilité de façon à ce qu’elles y demeurent le plus longtemps possible.

Le noyau de Viabilité d’un environnement est l’ensemble des états initiaux à partir desquels part au moins une évolution viable dans cet environnement.

La rétroaction de Viabilité pilote des évolutions qui sont
- toujours viables lorsque l’état initial est dans le noyau de Viabilité ;
- viables aussi longtemps que possible en dehors du noyau de Viabilité, jusqu’au moment (calculable) où toutes les évolutions quittent instantanément l’environnement.

La propriété de capturabilité viable :

Il s’agit de réguler les évolutions "viables " dans un environnement jusqu’à l’instant fini où elles atteignent une cible contenue dans l’environnement.

Le bassin de capture viable d’une cible dans un environnement est l’ensemble des états initiaux à partir desquels part au moins une évolution viable dans cet environnement jusqu’à ce qu’elle atteigne la cible en temps fini.

La rétroaction de capturabilité pilote des évolutions qui sont viables jusqu’à ce qu’elles atteignent la cible si l’état initial est dans le bassin de capture viable.

Les algorithmes de Viabilité permettent de calculer les rétroactions pilotant des évolutions qui restent viables dans l’environnement
- soit le plus longtemps possible (rétroaction de Viabilité)
- soit jusqu’à ce qu’elles atteignent la cible le plus rapidement possible (rétroaction de capturabilité)

Ces propriétés de Viabilité et de capturabilité se posent naturellement dans certains domaines mais elles sont également sous-jacentes dans de nombreux autres problèmes où il suffit de les transcrire dans les termes mathématiques adéquats.

II - Systèmes évolutionnaires (dynamiques en avenir incertain)

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Ce schéma symbolise un système évolutionnaire entrée-sortie formé de deux « boites ». La première, prenant en entrée les régulons, fournit en sortie l’évolution de variables d’états (schéma suivant) soumises à un système dynamique. La seconde indique la rétroaction de l’état du système sur les régulons, via ce qu’on appelle une "correspondance vicariante", astreignant ceux-ci à obéir à des contraintes d’état.

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La traduction mathématique de cet exemple de système évolutionnaire est indiquée dans le schéma suivant

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III - Noyaux de Viabilité et bassins de capture

La première question qui se pose est de connaître l’ensemble des états initiaux à partir desquels existe au moins une évolution viable dans l’environnement bleu.

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Cet ensemble est le noyau de Viabilité (en vert).

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La cible rouge est un sous ensemble de l’environnement. Le bassin de capture de la cible viable dans l’environnement est l’ensemble rose des états initiaux à partir des quels part au moins une évolution viable jusqu’au moment où elle atteint la cible en temps fini.

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Schématisation de la rétroaction (ou feedback) qui associe à chaque état le seul régulon qu’il faut utiliser pour maintenir l’évolution viable dans l’environnement

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